m为何整数时，9m^2+5m+26能分解为两个连续整数的乘积

问题:m是什么整数时，9m^2+5m+26能分解为两个连续的整数的乘积。

解 设对某整数k，有:9m^2+5m+26=k(k+1) ，
即 9m^2+5m+26-k(k+1)=0 ， (1)
把(1)式看成是关于m的二次方程，于是求m的整数值，就归结为上述二次方程有整数根，据判别式:
△=25-36[26-k(k+1)]=36k^2+36k-911，
△为完全平方数.
再设36k^2+36k-911=p^2 ， [p为整数]
即 36k^2+36k-911-p^2=0 (2)
这个关于k的二次方程有整数根，必须
△=36^2+4*36(911+p^2)=12^2*(920+p^2)
为完全平方数，从而(920+p^2) 是完全平方数。
又设q^2=920+p^2 [q为整数] ，则
(q+p)*(q-p)=920 =2*2*2*5*23 (3)
由此可见，q+p与q-p中必有一个偶数，又因q>p，且q+p与q-p之差为偶数，所以q+p与q-p都是偶数。再由(3)式可得以下情形:
q-p=2，q+p=460; (4-1)
q-p=4，q+p=230; (4-2)
q-p=10，q+p=92; (4-3)
q-p=20，q+p=46. (4-4)
(4-1)<==> q=231，p=229，
(4-2)<==> q=117，p=113，
(4-3)<==> q=51，p=41，
(4-4)<==> q=33，p=13。
把p值代入(2)式求得k，再把k值代入(1)式求得:
k(k+1)=1482 <==> k=38，9m^2+5m-1456=0 <==> m=-13，
k(k+1)=380 <==> k=19，9m^2+5m-354=0 <==> m=6，
k(k+1)=72 <==> k=8，9m^2+5m-46=0 <==> m=